Question

某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b（k≠0），函数图象如图所示．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

Answer 1

分析：（1）设y=kx+b，由图象可知，当x=600时，y=400；当x=700时，y=300，求出a、b，
（2）由销售总价=销售单价×销售量=xy，成本总价=成本单价×销售量=500y，求出毛利润的函数关系式，利用配方法，即可求得最大值．

解答：解：（1）由图象知，当x=600时，y=400；当x=700时，y=300，
代入y=kx+b（k≠0）中，得

400=600k+b 300=700k+b

                                              （2分）
解得

k=-1 b=1000

                                              （4分）
所以，y=-x+1000（500≤x≤800）．                                  （6分）
（2）销售总价=销售单价×销售量=xy，成本总价=成本单价×销售量=500y，
代入求毛利润的公式，得S=xy-500y
=x（-x+1000）-500（-x+1000）（8分）
=-x²+1500x-500000                                            （10分）
=-（x-750）²+62500（500≤x≤800）．                                （12分）
所以，当销售单价定为750元时，（13分）
可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．                   （14分）

点评：本题主要考查运用二次函数解决实际问题，考查配方法的运用，属于中档题．