题目内容
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的
倍，且椭圆C经过点M(2，
)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=
上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：
•
为定值．
| 2 |
| 2 |
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=
| 8 |
| 3 |
| OA |
| OB |
分析：（1）设椭圆C的方程，利用长轴长是短轴长的
倍，且椭圆C经过点M(2，
)，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，利用数量积公式，结合直线与圆相切，即可得到结论．
| 2 |
| 2 |
（2）分类讨论，利用数量积公式，结合直线与圆相切，即可得到结论．
解答：（1）解：设椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0）
∵长轴长是短轴长的
倍，
∴椭圆方程为
+
=1
∵M(2，
)在椭圆C上
∴
+
=1
∴b2=4
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=±
与椭圆的两个交点为（
，±
）或（-
，±
）
此时
•
=0；
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0
则△=8k2-m2+4＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
∵l与圆x2+y2=
相切
∴d=
=
∴3m2=8k2+8
∴
•
=x1x2+y1y2=
=0
综上所述
•
=0为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵长轴长是短轴长的
| 2 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
∵M(2，
| 2 |
∴
| 4 |
| 2b2 |
| 2 |
| b2 |
∴b2=4
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=±
2
| ||
| 3 |
与椭圆的两个交点为（
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
此时
| OA |
| OB |
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0
则△=8k2-m2+4＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
| 4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-8 |
| 1+2k2 |
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
∵l与圆x2+y2=
| 8 |
| 3 |
∴d=
| |m| | ||
|
|
∴3m2=8k2+8
∴
| OA |
| OB |
| 3m2-8k2-8 |
| 1+2k2 |
综上所述
| OA |
| OB |
点评：本题考查椭圆的方程，考查数量积公式，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
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