Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求直线AB₁和平面ABC₁D₁所成的角；
（2）M为BC₁上一点且BM=

1

3

BC1，在AB₁上找一点N使得MN∥A₁C．

Answer 1

分析：先以D为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，（1）先利用线面垂直的判定定理求平面ABC₁D₁的法向量，再求

AB1

与此法向量的夹角的余弦值，其绝对值就是线面角的正弦值；
（2）设

B1N

=λ

B1A

，将

MN

用λ表示，要使MN∥A₁C，只需存在μ，使

MN

=μ

A1C

，列方程组即可解得λ的值，从而确定N点位置

解答：解：如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为1
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），A₁（1，0，1），C（0，1，0）
（1）

AB1

=（0，1，1），

AD1

=（-1，0，1），

AB

=（0，1，0）
设平面ABC₁D₁所的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • AB =y=0 n • AD1 =-x+z=0

．取

n

=（1，0，1）
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

1

2 × 2

=

1

2

设直线AB₁和平面ABC₁D₁所成的角为θ
则sinθ=

1

2

，又θ∈[0，

π

2

]
∴θ=

π

6

∴直线AB₁和平面ABC₁D₁所成的角为

π

6

（2）

A1C

=（-1，1，-1），

BC1

=（-1，0，1），
∵BM=

1

3

BC1，
∴

BM

=

1

3

BC1

=（-

1

3

，0，

1

3

）
设

B1N

=λ

B1A

=λ（0，-1，-1）=（0，-λ，-λ）
则

MN

=

MB

+

BB1

+

B1N

=（

1

3

，0，-

1

3

）+（0，0，1）+（0，-λ，-λ）=（

1

3

，-λ，

2

3

-λ）
∵MN∥A₁C．
∴（

1

3

，-λ，

2

3

-λ）=μ（-1，1，-1），∴

1 3 =-μ -λ=μ 2 3 -λ=-μ

解得λ=

1

3

∴当

B1N

=

1

3

B1A

时，MN∥A₁C．

点评：本题主要考查了空间线面角的求法，空间线线平行的判定，空间直角坐标系与空间向量在解题中的应用，需要有较强的运算能力