Question

 已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．

（1）若，，求数列的通项公式；

（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足

的正整数的个数．

Answer 1

，符合要求的一共有5个

解析:

解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7，

        由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，

        所以3只可能是数列中的第1，2，3项，

        若，则， 若，则，

                              若，则；

        （2）首先对元素2进行分类讨论：

             ①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得

，这显然不可能；

             ②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，

               因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，

        所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，

               这样，

            则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8，

                                  上述数列符合要求；

③若2是数列的第项（），则，

即数列的公差，

  所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的

前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，

它们均小于8，

即数列的前9项均小于8，这与矛盾。

                               综上所述，，

         其次，当时， ，

                          ，，

          当时， ，因为是公差为的等差数列，

          所以，

          所以，

此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个