题目内容

定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的 $数学公式$ =（m，n）， $数学公式$ =（p，q），令 $数学公式$ ⊙ $数学公式$ =mq-np，下面说法错误的序号是
①若 $数学公式$ 与 $数学公式$ 共线，则 $数学公式$ ⊙ $数学公式$ =0　　　　　　　　　　 ② $数学公式$ ⊙ $数学公式$ = $数学公式$ ⊙ $数学公式$
③对任意的λ∈R，有（λ $数学公式$ ）⊙ $数学公式$ =λ（ $数学公式$ ⊙ $数学公式$ ）　　　④ $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ．

A.
②
B.
①②
C.
②④
D.
③④

A
分析：利用新定义，可得：若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，，则有 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ =mq-np=0；因为 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ =pn-qm，而 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ =mq-np，所以有 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ；（λ $\text{[math]}$ ）⊙ $\text{[math]}$ =λmq-λnp=λ（mq-np）=λ（ $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ）； $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（mq-np）²+（mp-nq）²=m²（q²+p²）+n²（p²+q²）=（m²+n²）（p²+q²）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
解答：若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则有 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ =mq-np=0，故①正确；
因为 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ =pn-qm，而 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ =mq-np，所以有 $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ，故选项②错误；
∵（λ $\text{[math]}$ ）⊙ $\text{[math]}$ =λmq-λnp=λ（mq-np）=λ（ $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ），∴（λ $\text{[math]}$ ）⊙ $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ ⊙ $\text{[math]}$ ），故③正确；
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（mq-np）²+（mp-nq）²=m²（q²+p²）+n²（p²+q²）=（m²+n²）（p²+q²）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，故④正确
故选A．
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．