Question

已知函数f（x）=ax²+blnx（x＞0）在x=1处有极值

1

2

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求出函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=ax²+blnx在x=1处有极值

1

2

，得到f（1）=

1

2

，f′（1）=0得到a、b即可；
（2）找到函数的定义域，求出导函数，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=ax²+blnx，
所以f′(x)=2ax+

b

x

．…（2分）
又函数f（x）在x=1处有极值

1

2

，
所以

f′(1)=0 f(1)= 1 2 .

即

2a+b=0 a= 1 2 .

…（4分）
可得a=

1

2

，b=-1． …（5分）
经检验，此时f'（x）在x=1的左右符号相异，所以a=

1

2

，b=-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=

1

2

x2-lnx，其定义域是（0，+∞），
且f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

．…（8分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．…（13分）

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．