Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M，N是椭圆长轴的两个端点，P是椭圆上除了长轴端点外的任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k₁、k₂，若k₁•k₂=-

1

2

，则椭圆的离心率为

1

．

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：先求出M、N的坐标，设点P的坐标，则点P的坐标满足椭圆的方程，计算直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于定值，代入解得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答：解：由题意得：M（-a，0）、N（a，0），设点P的坐标（x，y），
则有

x2

a2

+

y2

b2

=1，即 y²=b²（1-

x2

a2

），
直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于 

y

x+a

×

y

x-a

=

y2

x2-a2

=

b2(1- x2 a2 )

x2-a2

=-

b2

a2

∴-

b2

a2

=-

1

2

，⇒a²=2b²，
∴c²=a²-b²=

1

2

a²，
∴e=

c

a

=

2

2

．
故选B．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，本题的关键是利用直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于定值得出a，b的关系．