Question

【题目】如图，在多面体中，平面平面，，，，，．

（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；

（2）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）解法一，由面面垂直的条件证明平面，过点作，这样以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，根据公式计算；解法二：在平面内，过点作的垂线，垂足为；在平面内，过作的垂线，交的延长线于点．连接，根据垂直关系，说明为平面与平面所成二面角的平面角；

（2）解法一：假设存在点满足，设，，并利用向量相等表示点的坐标，若满足，则，利用向量相等，列方程组求解判断是否有解；解法二：假设棱上存在点，使得，显然与点不同，所以四点共面，利用四点共面推出矛盾；解法三：假设棱上存在点，使得,连接，取的中点，在△中，因为分别为的中点，由条件可知，都平行于,推出矛盾.

解法一：（1）因为，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面．

作交于，则三条直线两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

因为，，．

所以，

设平面的法向量为，因为，

所以所以令，所以，

由轴平面知为平面的一个法向量，

所以，

所以与平面所成二面角的正弦值为．

（2）因为是棱的中点，由（1）可得．

假设棱上存在点，使得，

设，，

所以，

因为，所以，

所以这个方程组无解，

所以假设不成立，所以对于棱上任意一点，与都不平行．

解法二：（1）如图，在平面内，过点作的垂线，垂足为；在平面内，过作的垂线，交的延长线于点．连接．

因为，所以平面．

因为，平面，平面，

所以平面，

设平面平面，则，故平面．

所以为平面与平面所成二面角的平面角．

因为，，所以，

在中，．

又，所以在中，．

所以，

所以与平面所成二面角的正弦值为．

（2）假设棱上存在点，使得，显然与点不同

所以四点共面，记该平面为，所以，，，

又，，所以，，

所以就是点确定的平面，

这与为四棱锥相矛盾，所以假设不成立，

所以对于棱上任意一点，与都不平行．

解法三：（1）同解法一．

（2）假设棱上存在点，使得．

连接，取的中点，

在△中，因为分别为的中点，

所以．

因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以与重合．

又点在线段上，所以，又，

所以是与的交点，即就是，

而与相交，所以与相矛盾，所以假设不成立，

所以对于棱上任意一点，与都不平行．