题目内容
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足
，证明：{bn}是等差数列；
（3）证明：
．
考点：
数列与不等式的综合；数列递推式．
专题：
证明题．
分析：
（1）由题设知an+1+1=2（an+1），所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n﹣1．
（2）由题设知
，由此能推导出nbn﹣2=（n﹣1）bn+1，从而得到2bn+1=bn+bn﹣1，所以数列{bn}是等差数列．
（3）设
，则
=
，由此能够证明出
．
解答：
解：（1）∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）（2分）
故数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（3分）
∴an+1=2n，an=2n﹣1（4分）
（2）∵
，
∴
（5分）
2（b1+b2++bn）﹣2n=nbn①2（b1+b2++bn+bn+1）﹣2（n+1）=（n+1）bn+1②
②﹣①得2bn+1﹣2=（n+1）bn+1﹣nbn，
即nbn﹣2=（n﹣1）bn+1③（8分）
∴（n+1）bn+1﹣2=nbn+2④
④﹣③得2nbn+1=nbn+nbn﹣1，即2bn+1=bn+bn﹣1（9分）
所以数列{bn}是等差数列．
（3）∵
（11分）
设
，
则
=
（13分）
（14分）
点评：
本题考查数列和不等式的综合应用题，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
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