Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞

1

2

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域在（-1，+∞）
f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

令g（x）=2x²+2x+b，则g（x）在(-

1

2

，+∞)上递增，在(-1，-

1

2

)上递减，g(x)min=g(-

1

2

)=-

1

2

+b，当b＞

1

2

时g(x)min=-

1

2

+b＞0
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即当b＞

1

2

时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当b＞

1

2

时函数f（x）无极值点
（2）当b=

1

2

时，f′(x)=

2(x+ 1 2 )2

x+1

，
∴x∈(-1，-

1

2

)时，f′(x)＞0x∈(-

1

2

，+∞)时，f′(x)＞0，
∴b=

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点
（3）当b＜

1

2

时，解f'（x）=0得两个不同解x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

当b＜0时，x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），此时f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

当0＜b＜

1

2

时，x₁，x₂∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，此时f（x）有一个极大值点x1=

-1- 1-2b

2

和一个极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

综上可知，b＜0，时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x1=

-1- 1-2b

2

和一个极小值点x2=

-1+ 1-2b

2

b≥

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
（Ⅲ）当b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1）．令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1)，则h′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞)上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即当x∈（0，+∞）时，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，对任意正整数n，取x=

1

n

得ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3