题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $数学公式$ ．
（1）试求{a_n}的通项公式；
（2）若 $数学公式$ ，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

解：（1）n=1时，a₁=1-a₁，a₁= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ①，∴S_n+1=1-a_n+1②，
②-①得a_n+1=-a_n+1+a_n，∴a_n+1= $\text{[math]}$ a_n，
∴数列{a_n}是首项为a₁= $\text{[math]}$ ，公比q= $\text{[math]}$ 的等比数列，
∴a_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，③
2T_n=1×2²+2×2³+3+3×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，④
③-④得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹③，
= $\text{[math]}$ -n×2ⁿ⁺¹③，
整理得T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
分析：（1）n=1时，a₁=1-a₁，a₁= $\text{[math]}$ ，由已知得出S_n+1=1-a_n+1②，与已知相减并整理，构造数列{a_n}是首项为a₁= $\text{[math]}$ ，公比q= $\text{[math]}$ 的等比数列，通项公式易求．
（2） $\text{[math]}$ ，利用错位相消法求和即可．
点评：本题主要考查等比数列的判定、通项公式求解，错位相消法数列求和．考察转化、变形构造、推理论证、计算能力．