Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）=-f（x），且y=f（x-3）是奇函数，给出以下命题，正确的是（　　）
（1）f（x）是周期函数     
（2）f（x）关于点（-3，0）对称
（3）f（x）是偶函数       
（4）f（x）关于直线x=-3对称．

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）（3）（4）
• C、（1）（2）（4）
• D、（1）（3）（4）

Answer 1

分析：（1）f（x+6）=-f（x）⇒f（x+12）=f（x），于是可判断（1）之正误；
（2）y=f（x-3）是奇函数⇒y=f（x-3）的图象关于原点成中心对称⇒f（x）的图象关于点（-3，0）对称，于是可判断其正误；
（3）y=f（x-3）是奇函数⇒f（-x-3）=-f（x-3），用x-3替换f（x+6）=-f（x）中的x，即可判断（3）之正误；
（4）f（x）关于点（-3，0）对称，⇒f（-6）+f（0）=0，f（-6）=-f（0）≠f（0），于是可判断（4）之正误．

解答：解：对于（1）：∵f（x+6）=-f（x），
∴f[（x+6）+6]=-f（x+6）=-[-f（x）]=f（x），即f（x+12）=f（x），
∴f（x）是周期为12的函数，故（1）正确；
对于（2）：∵y=f（x-3）是奇函数，
∴y=f（x-3）的图象关于原点成中心对称，
而y=f（x-3）的图象是y=f（x）的图象向右平移3个单位得到的，故f（x）的图象关于点（-3，0）对称，故（2）正确；
对于（3）：∵f（x+6）=-f（x），
∴用x-3替换x得：f（x+3）=-f（x-3），又y=f（x-3）是奇函数，f（-x-3）=-f（x-3），
∴f（-x-3）=f（x+3），
∴f（x）是偶函数，即（3）正确；
对于（4）：∵f（x）关于点（-3，0）对称，
∴f（-6）+f（0）=0，f（-6）=-f（0）≠f（0），
∴f（x）不关于直线x=-3对称，即（4）错误；
综上所述，（1）（2）（3）正确，
故选：A．

点评：本题考查抽象函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查转化思想与逻辑思维能力，属于中档题．