Question

16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，则$\frac{a+b}{c}$的取值（　　）

• A． （0，2）
• B． $（{0，\sqrt{2}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}}]$
• D． $[{1，\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 由∠C=90°，可得a=csinA，b=ccosA，代入可得$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）$，由于A∈$（0，\frac{π}{2}）$．可得$sin（A+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．即可得出．

解答 解：∵∠C=90°，∴a=csinA，b=ccosA，
A∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴$（A+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
则$\frac{a+b}{c}$=sinA+cosA=$\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）$∈$（1，\sqrt{2}]$．
故选：C．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．