Question

如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=

1

3

AC，AE=

2

3

AB，BD，CE相交于点F．
（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

Answer 1

分析：（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=

2

3

，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为

2

3

．

解答：（Ⅰ）证明：∵AE=

2

3

AB，
∴BE=

1

3

AB，
∵在正△ABC中，AD=

1

3

AC，
∴AD=BE，
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，
∴△BAD≌△CBE，
∴∠ADB=∠BEC，
即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．…（5分）
（Ⅱ）解：如图，

取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=

1

2

AE，
∵AE=

2

3

AB，
∴AG=GE=

1

3

AB=

2

3

，
∵AD=

1

3

AC=

2

3

，∠DAE=60°，
∴△AGD为正三角形，
∴GD=AG=AD=

2

3

，即GA=GE=GD=

2

3

，
所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为

2

3

．
由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为

2

3

．…（10分）

点评：本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题．