Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（3）过的直线与（2）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的几何性质写出点的坐标，，，由向量的坐标运算计算，由这个关系可解得；（2）外接圆圆心为斜边的中点，半径，由相切的性质得，求出，再由，求出即可；

（3）设的内切圆的半径为，则的周长为，由此可得，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系代入，换元令，转化为，可知当时，有最大值，从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可.

试题解析：（1）由题，为的中点.设，则，

，，由题，即，

∴即，∴.

（2）由题外接圆圆心为斜边的中点，半径，

∵由题外接圆与直线相切，∴，即，即，

∴，，，故所求的椭圆的方程为.

（3）设，，由题异号，

设的内切圆的半径为，则的周长为，

，

因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，

，

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

由韦达定理得，，（）

，

令，则，，

当时，有最大值3，此时，，，

故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.