Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=

1

2

AD．E为AB中点，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角C-PE-A的余弦值；
（Ⅲ）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求AF的长．

Answer 1

分析：（I）由题意PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，利用已知BC⊥AB，利用线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，进而利用线面垂直的性质得到线线垂直；
（II）利用题中的条件建立空间直角坐标系，先写出各个点的坐标，利用两平面的法向量的夹角求解二面角的大小；
（III）利用方程的思想及棱锥的体积公式计算出未知变量的大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵E为AB中点，∴PE?平面PAB．
∴BC⊥PE．

（Ⅱ）建立直角坐标系A-xyz，设AB=1，则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E(

1

2

，0，0)

BC

=(0，1，0)，

EP

=(-

1

2

，0，1)，

EC

=(

1

2

，1，0)
由（I）知，BC⊥平面PAE，∴

BC

是平面PAE的法向量．
设平面PEC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n

•

EC

=0且

n

•

EP

=0
∴y=-

1

2

x， z=

1

2

x，

n

=（2，-1，1）
∴cosθ= |

n • BC

| n |•| BC|

 |=

6

6

，
二面角C-PE-A的余弦值为-

6

6

．
（Ⅲ）连接BC，设AB=a
∵VP-ABCD=

1

3

×(

a+2a

2

)•a×a=

a3

2

=4∴a=2
∵△PAC是直角三角形∴AF=

1

2

PC=

3

．

点评：此题中点考查了线面垂直的判定及其性质，还考查了利用向量求解二面角的大小，利用方程的思想利用棱锥的体积公式建立方程进而求解．