Question

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时，f(x)＜

9x

x+1

成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜

9x

x+1

等价于ln（x+1）+

x2-8x

x+1

＜0，求出函数的最值，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）解：函数的定义域为（-1，+∞）
求导函数可得f′（x）=

1

x+1

+a
当a≥0时，

1

x+1

+a＞0，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；
当a＜0时，

1

x+1

+a＞0，函数在（-1，-1-

1

a

）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-

1

a

）

1

x+1

+a＜0，函数在（-1-

1

a

，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜

9x

x+1

等价于ln（x+1）+

x2-8x

x+1

＜0
令g（x）=ln（x+1）+

x2-8x

x+1

，则g′（x）=

x2+3x-7

(x+1)2

∵x∈（0，5），∴函数在（0，

-3+ 37

2

）上单调递增，在（

-3+ 37

2

，5）上单调递减
∴g（x）_max=ln（

-3+ 37

2

+1）+

( -3+ 37 2 )2-8• -3+ 37 2

-3+ 37 2 +1

＜0
∴x∈（0，5）时，f(x)＜

9x

x+1

成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查函数的最值，属于中档题．