Question

14．已知函数f（x）=（x-1）e^x-kx²，（x＞0）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$kx³+kx²在（0，2）内有两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，对k讨论，分k≤0，0＜k≤$\frac{1}{2}$，k＞$\frac{1}{2}$，通过导数的符号判断单调性，即可得到单调区间；
（2）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）=0在（0，2）内有两个不相等的实数根，即有y=k和y=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）内有两个交点，求出y=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数和最值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（x-1）e^x-kx²，（x＞0）的导数为
f′（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k），
由x＞0可得e^x＞1，
①当2k≤0，即k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
②当0＜2k≤1时，即0＜k≤$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
③当2k＞1时，即k＞$\frac{1}{2}$，由f′（x）＞0可得x＞ln（2k），
由f′（x）＜0可得0＜x＜ln（2k），
即有f（x）在（0，ln（2k））递减，在（ln（2k），+∞）递增；
（2）函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$kx³+kx²=（x-1）e^x-$\frac{1}{3}$kx³，
导数g′（x）=xe^x-kx²=x（e^x-kx），
由题意可得，g′（x）=0在（0，2）内有两个不相等的实数根，
即有y=k和y=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）内有两个交点，
由于y=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数为y′=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，在（0，1）内y′＜0，函数递减，
在（1，+∞）内y′＞0，函数递增．
即有x=1处函数y取得最小值，且为e，
当x→0，y→+∞，x→2，y→$\frac{{e}^{2}}{2}$，
即有e＜k＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，
则有k的取值范围是（e，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题和易错题．