Question

已知点M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲线C上的两点，点M、N关于x轴对称，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）某同学发现，当曲线C的方程为：x²+y²=R²（R＞0）时，x_E·x_F=R²是一个定值与点M、N、P的位置无关；请你试探究当曲线C的方程为：时，x_E·x_F的值是否也与点M、N、P的位置无关；
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为y²=2px（p＞0）时，探究x_E与x_F经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论。（只要求写出你的探究结论，无须证明）

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意N（k，-l），
且∵klmn≠0及MP、NP与轴有交点知：M、P、N为不同点，
直线PM的方程为，
则，
同理可得；
（Ⅱ）∵M，P在椭圆C：上，
∴，
∴x_E·x_F的值是与点M、N、P位置无关；
（Ⅲ）一个探究结论是：；
提示：依题意，，
∵M，P在抛物线C：y²=2px（p>0）上，
∴n²=2pm，l²=2pk，，
∴为定值。