Question

已知函数f（x ）=

x2，(x＜0) -x，(x≥0)

g（x）=

1-x，(x≤0) 1+x，(x＞0)

，若g[f（x）]≥a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，0]

B．（-∞，1]

C．[0，1]

D．[-1，1]

Answer 1

分析：对f（x）的取值加以讨论，结合g（x）的对应法则，得到g[f（x）]的表达式，从而求出g[f（x）]的最小值．由此结合不等式g[f（x）]≥a恒成立，则不难不出实数a的取值范围．

解答：解：①当x≥0时，f（x）=-x≤0，此时g[f（x）]=g（-x）=1-（-x）=1+x
∴当x≥0时，g[f（x）]=1+x
②当x＜0时，f（x）=x²＞0，此时g[f（x）]=g（x²）=1+x²，
∴当x＜0时，g[f（x）]=1+x²，
综上所述，g[f（x）]=

1+x    x≥0 1+x2      x＜0

，可得当x=0时，g（f（x））有最小值为1
∵不等式g[f（x）]≥a恒成立，
∴g[f（x）]的最小值大于或等于a，即a≤1
故选B

点评：本题给出两个分段函数，要我们求复合函数不等式恒成立问题的解．着重考查了分段函数和函数恒成立问题等知识，属于基础题．