Question

已知函数f（x）=2sinωx（sinωx+cosωx）-1（ω＞0），且y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

π

4

•
（1）求ω的值．
（2）求f（x）在[0，

π

2

]与上的最大值和最小值及取最大值、最小值时相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用已知求出周期，根据周期公式即可求出ω的值；
（2）由（1）确定出f（x）解析式，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域，即可求出最大值与最小值，以及此时x的值．

解答：解：（1）f（x）=2sin²ωx+sin2ωx-1=sin2ωx-cos2ωx=

2

sin（2ωx-

π

4

），
∵y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

π

4

，ω＞0，
∴f（x）的周期为4×

π

4

=π，即T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（2）由（1）知，f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴-1≤

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

，
当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f（x）在[0，

π

2

]上取得最大值为

2

；
当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）在[0，

π

2

]上取得最小值为-1．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．