题目内容

已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时 $数学公式$ 恒成立；
（3）若 $数学公式$ 对任意的n∈N^*都成立（其中e是自然对数的底），求常数a的最小值．

（1）解：当a=1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，则f′（x）=ln（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函数的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；
（2）证明：当x＞0时，欲证 $\text{[math]}$ 恒成立，只需证明当x＞0时， $\text{[math]}$
构造函数g（x）= $\text{[math]}$ ，则g′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
∴g（x）= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上单调递增
∴g（x）＞g（0）=0
∴当x＞0时， $\text{[math]}$
∴当x＞0时， $\text{[math]}$ 恒成立；
（3）解： $\text{[math]}$ 等价于（n+a）ln（1+ $\text{[math]}$ ）≥1
∴a≥ $\text{[math]}$
∵当x＞0时， $\text{[math]}$ 恒成立，∴ $\text{[math]}$
∴a≥ $\text{[math]}$
∴常数a的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，欲证 $\text{[math]}$ 恒成立，只需证明当x＞0时， $\text{[math]}$ ，构造函数，确定函数的单调性，即可证得结论；
（3） $\text{[math]}$ 等价于（n+a）ln（1+ $\text{[math]}$ ）≥1，分离参数，利用（2）的结论，即可求常数a的最小值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题．