Question

（2013•宁德模拟）已知函数f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 -x2+1，x＞0

，不等式f（a-

3

cost）＜f（sint+1）对任意实数t恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，-1）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，3）

D．（3，+∞）

Answer 1

分析：通过f（x）的图象可判断f（x）单调递减，从而不等式可去掉符号“f”，分离出参数a后转化为求三角函数的最大值问题．

解答：解：作出函数f（x）的图象如右图所示：
由图象可知，函数f（x）在R上单调递减，
所以f（a-

3

cost）＜f（sint+1）对任意实数t恒成立，等价于a-

3

cost＞sint+1恒成立，即a＞

3

cost+sint+1恒成立，
而

3

cost+sint+1=2sin（t+

π

3

）+1≤3，
所以a＞3，即实数a的取值范围是（3，+∞），
故选D．

点评：本题考查函数的单调性及不等式的解法，考查函数恒成立问题，解决本题的关键是利用函数f（x）的图象判断其单调性，由单调性去掉符号“f”，进而转化为函数最值问题解决．