Question

设函数f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．
（Ⅰ）求M、T；
（Ⅱ）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：利用辅助角公式对函数化简可得，f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
（Ⅰ）由M=2，利用周期公式可求T=

2π

2

=π
（Ⅱ）由f（x_i）=2，可得2sin(2xi+

π

6

)=2，从而可得2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，结合0＜x_i＜10π可求

解答：解：∵f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（4分）
（Ⅰ）∵M=2
∴T=

2π

2

=π（6分）
（Ⅱ）∵f（x_i）=2，即2sin(2xi+

π

6

)=2
∴2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，
∴xi=kπ+

π

6

(k∈Z)（9分）
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，…，9（11分）
∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10×

π

6

=

140

3

π（12分）

点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，及由三角函数值求解角，属于三角函数的综合试题．