Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析：首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出

DQ

、

DC

、

PQ

的坐标，由向量积的运算易得

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；
（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、

CB

、

BP

的坐标，进而求出平面的PBC的法向量

n

与平面PBQ法向量

m

，进而求出cos＜

m

，

n

＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．

解答：解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则

DQ

=（1，1，0），

DC

=（0，0，1），

PQ

=（1，-1，0），
所以

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），

CB

=（1，0，0），

BP

=（-1，2，-1）；
设

n

=（x，y，z）是平面的PBC法向量，
则

n • CB =0 n • BP =0

即

x=0 -x+2y-z=0

，
因此可取

n

=（0，-1，-2）；
设

m

是平面PBQ的法向量，则

m • BP =0 m • PQ =0

，
可取

m

=（1，1，1），
所以cos＜

m

，

n

＞=-

15

5

，
故二面角角Q-BP-C的余弦值为-

15

5

．

点评：本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．