题目内容

已知某圆的方程是x2+y2=4,A、B为圆上两动点,M(1,1)为圆内一定点,若四边形MAPB为矩形,求P点的轨迹方程.

解:设P点坐标为(x,y),A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).

∵四边形MAPB为矩形,∴AB的中点与MP的中点重合,且MA⊥MB.

于是得

且=-1.                        （2）

将（2）式整理,得

x1x2+y1y2+2=(x1+x2)+(y1+y2).                  （3）

将（1）式代入（3）式得x1x2+y1y2=x+y.             （4）

∵A、B在圆上,

∴x12+y12=4,x22+y22=4.

∴x12+y12+x22+y22=8,

即(x1+x2)2+(y1+y2)2-2(x1x2+y1y2)=8.

将（1）（4）式代入上式得(x+1)2+(y+1)2-2(x+y)=8,

化简得x2+y2=6,这就是P点的轨迹方程.


练习册系列答案
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精英家教网与向量、圆交汇．例5：已知F1、F2分别为椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．
如图，已知F1、F2分别为椭圆C1：
y2
a2
+
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（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．
与向量、圆交汇．例5：已知F1、F2分别为椭圆C1：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，，（λ≠0且λ≠±1）．问点Q是否总在某一定直线上？若在，求出这条直线，否则，说明理由．
如图，已知F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，其中F1也是抛物线的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．

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