题目内容
已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=8，动点P满足
=
，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点Q．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△OPQ面积的最大值．
| AP |
| 3 |
| 5 |
| PB |
（1）求曲线C的方程；
（2）求△OPQ面积的最大值．
（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），
则
=（x-a，y），
=（-x，b-y），
∵
=
，∴
∴a=
x，b=
y．
又|AB|=
=8，∴
+
=1．
∴曲线C的方程为
+
=1．
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，
设直线PM方程为x=my+4，
由
消去x得
（9m2+25）y2+72my-81=0，
∴|yP-yQ|=
=
．
∴S△OPQ=
|OM||yP-yQ|=2×
=
=
=
≤
=
，
当
=
，
即m=±
时，△OPQ的面积取得最大值为
，
此时直线方程为3x±
y-12=0．
则
| AP |
| PB |
∵
| AP |
| 3 |
| 5 |
| PB |
|
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 3 |
又|AB|=
| a2+b2 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
∴曲线C的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，
设直线PM方程为x=my+4，
由
|
（9m2+25）y2+72my-81=0，
∴|yP-yQ|=
| ||
| 9m2+25 |
90
| ||
| 9m2+25 |
∴S△OPQ=
| 1 |
| 2 |
90
| ||
| 9m2+25 |
20
| ||
m2+
|
20
| ||
m2+1+
|
| 20 | ||||||
|
| 20 | ||
|
| 15 |
| 2 |
当
| m2+1 |
| 16 | ||
9
|
即m=±
| ||
| 3 |
| 15 |
| 2 |
此时直线方程为3x±
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