Question

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然数x的个数，
（1）求f（x）的解析式；
（2）记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n解析式；
（3）记P_n=n-1，设T_n=

log2(Sn-Pn)

log2(Sn+1-Pn+1)-10.5

，对任意n∈N均有T_n＜m成立，求出整数m的最小值．

Answer 1

（1）原不等式可转化为：

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

即

x＞0 x＜3•2k-1 x2-3•2k-1x+2k-1•2k≤0

∴2^k-1≤x≤2^k（4分）
∴f（k）=2^k-（2^k-1-1）=2^k-1+1．（6′）
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）
=2⁰+2¹+…+2^n-1+n
=2ⁿ+n-1．（10′）
（3）∵Tn=

log22n

log22n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，（12′）
当1≤n≤9时，T_n单调递减，此时(Tn)max=T1=-

2

17

，（14′）
当n≥10时，T_n单调递减，此时（T_n）_max=T₁₀=20，
∴（T_n）_max=20，m_min=21．（16′）