Question

3．已知在等差数列{a_n}中，a₂=3，a₆=11，记数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，若S_n≤$\frac{m}{10}$对n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式可得a_n，利用“裂项求和”可得S_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为的，∵a₂=3，a₆=11，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{{a}_{1}+5d=11}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
其前n项和为S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
∵S_n≤$\frac{m}{10}$对n∈N^*恒成立，
∴$m≥\frac{10n}{2n+1}$，
∵$\frac{10n}{2n+1}$=$\frac{10}{2+\frac{1}{n}}$＜$\frac{10}{2}$=5．
∴m≥5．
则正整数m的最小值为5．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．