Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}各项均为正数，满足b₁+b₂+b₃=18，且a₁+b₁+2，a₂+b₂，a₃+b₃-3成等比数列，证明：++…+＜．

Answer 1

解：（1）由，
得a_n+1=3a_n+n，n≥2，
∴a_n+1+，（3分）
又也满足上式，
∴数列{a_n+}是首项为，公比为3的等比数列．
∴，
∴．
（2）∵等差数列{b_n}各项均为正数，满足b₁+b₂+b₃=18，
∴b₂=6，设{b_n}的公差为d，且d＞0，
依题意可得9-d，10，16+d成等比数例，
∴（9-d）（16+d）=100，解得d=4，或d=-11，（舍去），
∴．（8分）
∴当n≥2时，
=．
∴＜
==．
∴++…+＜．（12分）
分析：（1）由，得a_n+1=3a_n+n，n≥2，故数列{a_n+}是首项为，公比为3的等比数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b₁+b₂+b₃=18，得b₂=6，设{b_n}的公差为d，且d＞0，得（9-d）（16+d）=100，故．再由=．由此能够证明++…+＜．
点评：本题考查数列通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的前n基和公式、通项公式的灵活运用．