Question

当实数X为何值时，复平面内表示复数z=（x²+x-6）+（x²-2x-15）i的点
（1）位于第三象限；
（2）位于直线x-y-3=0的左上方（不包括边界）．

Answer 1

分析：（1）若复平面内表示复数z=（x²+x-6）+（x²-2x-15）i的点位于第三象限，则x²+x-6＜0，且x²-2x-15＜0，解不等式组可得答案．
（2）若复平面内表示复数z=（x²+x-6）+（x²-2x-15）i的点位于直线x-y-3=0的左上方（不包括边界），则（x²+x-6）-（x²-2x-15）-3＜0，解不等式可得答案．

解答：解：（1）若复平面内表示复数z=（x²+x-6）+（x²-2x-15）i的点位于第三象限
则x²+x-6＜0…①，且x²-2x-15＜0…②
解①得-3＜x＜2，解②得-3＜x＜5
即当-3＜x＜2时表示复数z的点位于第三象限
（2）若复平面内表示复数z=（x²+x-6）+（x²-2x-15）i的点位于直线x-y-3=0的左上方（不包括边界）．
则（x²+x-6）-（x²-2x-15）-3＜0
即3x+6＜0
解得x＜-2
即x＜-2时，点Z在直线x-y-3=0的左上方（不包括边界）．

点评：本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，二元一次不等式组与平面区域，其中正确理解复数的几何意义及点在直线x-y-3=0的左上方的含义，并由此构造出关于x的不等式（组）是解答本题的关键．