题目内容
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=tanα，（0＜α＜$\frac{π}{2}$，α≠$\frac{π}{6}$），an+1=$\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N*）关于下列命题：①若α=$\frac{π}{3}$，则a3=0；
②对任意满足条件的角α，均有an+3=an（n∈N*）
③存在α0∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），使得S3n=0
④当$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{3}$时，S3n＜0
其中正确的命题有（ ）
| A． | 1 个 | B． | 2 个 | C． | 3 个 | D． | 4 个 |
分析 ①由a1=$tan\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，可得a2=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，a3=0，即可判断出正误；
②对任意的a1（a1≠），an+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，an+3=$\frac{\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}}$=an，即可判断出正误；
③由②的周期性可知：只要证明存在α0∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），使得S3=0即可．a2=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$，a3=$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$．可得S3=a1+a2+a3=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$，取$α=\frac{π}{3}$，可得S3=0，即可判断出正误．
④当$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{3}$时，$\frac{\sqrt{3}}{3}＜tanα＜\sqrt{3}$．由②的周期性可知：只要证明S3＜0即可，S3=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$＜0，即可判断出正误．
解答 解：①∵a1=$tan\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴a2=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，∴a3=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）}$=0，因此正确；
②对任意的a1（a1≠），an+2=$\frac{{a}_{n+1}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}}$=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}$，an+3=$\frac{\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}{a}_{n}}}$=an，∴an+3=an，正确；
③由②的周期性可知：只要证明存在α0∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），使得S3=0即可．a2=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$，a3=$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$．S3=a1+a2+a3=tanα+$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$+$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$，取$α=\frac{π}{3}$，可得S3=0，因此正确．
④当$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{3}$时，$\frac{\sqrt{3}}{3}＜tanα＜\sqrt{3}$．由②的周期性可知：只要证明S3＜0即可，a2=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanα}$，a3=$\frac{tanα-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanα}$．S3=a1+a2+a3=$\frac{3tanα（3-ta{n}^{2}α）}{1-3ta{n}^{2}α}$＜0，因此正确．
综上可得：①②③④都正确．
故选：D．
点评 本题考查了正切和差公式、数列递推关系、数列的周期性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
