Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）求函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义，结合函数解析式，即可求a，b的值；
（2）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）将函数的极大值与端点函数值，比较，即可求函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值．

解答：解：（1）由题意，f′（x）=x²-2ax+a²-1．                                     …（1分）
又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
所以切线的斜率为-1，即 f′（1）=-1，∴a²-2a+1=0，解得a=1．                       …（2分）
又∵点（1，f（1））在直线x+y-3=0上，∴f（1）=2，…（3分）
同时点（1，f（1））即点（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+(a2-1)+b，…（4分）
即2=

1

3

-1+(12-1)+b，解得b=

8

3

．                                 …（5分）
（2）由（1）有f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

，∴f′（x）=x²-2x，…（6分）
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，
所以有x、f′（x）、f（x）的变化情况表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值	?	极小值	?

…（8分）
由上表可知，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）； …（10分）
∴函数f（x）的极大值是f(0)=

8

3

，极小值是f(2)=

4

3

．                  …（11分）
（3）由（2），函数f（x）在区间[-2，5]上的极大值是f(0)=

8

3

．            …（12分）
又f(-2)=-4，f(5)=

58

3

，…（13分）
∴函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值为

58

3

．…（14分）

点评：本题考查导数知识的应用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．