题目内容
（本小题满分15分）
已知函数
.
(Ⅰ)
若曲线
在点
处的切线
与曲线
有且只有一个公共点，求
的值；
(Ⅱ) 求证：函数
存在单调递减区间
，并求出单调递减区间的长度
的取值范围.
【答案】
（Ⅰ）
.（Ⅱ）以函数
的递减区间长度
的取值范围是
.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中 的运用。
（1）先求解函数
的定义域为
，函数导数
所以曲线
在点
处的切线方程为：
因为切线与曲线有唯一的公共点，
所以方程
有且只有一个实数解，显然
是方程的一个解.
构造函数令
，则
对参数m讨论得到结论。
（2））因为
.
因为
且对称轴为
，
，
所以方程
在内有两个不同实根
，
结合韦达定理得到结论。
解：（Ⅰ）函数的定义域为，
所以曲线在点处的切线方程为：
因为切线与曲线有唯一的公共点，
所以方程有且只有一个实数解，显然是方程的一个解.
令，则
①当时，
，
所以
在上单调递增，即是方程唯一实数解.
②当
时，由得
，
，
在区间
上，
；在区间
上，
；
所以函数在
处有极大值
，且
；
而当
，因此
在内也有一个解.
即当时，不合题目的条件.
综上讨论得.……………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）
.
因为且对称轴为，
，
所以方程在内有两个不同实根，
即
的解集为
，
所以函数的单调递减区间为
.
由于
，所以
，
所以函数的递减区间长度的取值范围是.……………………15分
练习册系列答案
相关题目
的单调区间；
，试分别解答以下两小题.
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．