Question

已知α、β为锐角，向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（，-）．
（1）若•=，•=，求角2β-α的值；
（2）若=+，求tanα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由•=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=，可得•=（cosα，sinα）•（，-）=cosα-sinα=，α、β为锐角，可得α与β的值，从而即可求角2β-α的值．
（2）由=+可得，③²+④²得cosα-sinα=，可得2sinαcosα=．又2sinαcosα=
==，可得3tan²α-8tanα+3=0，又α为锐角，即可求出tanα的值．
解答：解：（1）∵•=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ），
=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos（α-β）=，①
•=（cosα，sinα）•（，-），
=cosα-sinα=，②
又∵0＜α＜，0＜β＜，
∴-＜α-β＜．
由①得α-β=±，由②得α=．
由α、β为锐角，∴β=．
从而2β-α=π．
（2）由=+可得，
③²+④²得cosα-sinα=，∴2sinαcosα=．
又∵2sinαcosα=
==，
∴3tan²α-8tanα+3=0．
因为cosα-sinα＞0 所以cosα＞sinα又因为α为锐角，所以tanα＜1，
又∵α为锐角，∴tanα＞0，
∴tanα=
=．
点评：本题考查了两角函数和与差的运算及平面向量数量积的运算，难度一般，关键是掌握两角和与差的余弦函数公式．