Question

（2005•朝阳区一模）已知函数f（x）=-x³+3x
（Ⅰ）证明：函数f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（-1，1）内是增函数．

Answer 1

分析：（I）先判断f（x）的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，最后根据奇函数的定义得到结论．
（II）求出函数f（x）的导函数，并分析当-1＜x＜1时，导函数值的符号，进而可得函数f（x）在区间（-1，1）内是增函数

解答：证明：（I）f（x）的定义域是R关于原点对称．
设任意x∈R，∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），（4分）
∴函数f（x）是奇函数（6分）
（II）∵y′=-3x²+3=3（1-x）（1+x），（9分）
当-1＜x＜1时．
∴y′＞0，（12分）
所以函数f（x）=-x³+3x在区间（-1，1）内是增函数．（14分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握定义法证奇偶性和单调性的方法和步骤是解答的关键．