Question

已知函数f（x）=

2x+1

x+2

，试证明f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数，并求出该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，即可得出结论；利用函数的单调性，可得函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=

2x+1

x+2

=2-

3

x+2

                  （1分）
在（-2，+∞）上任取x₁，x₂，使得-2＜x₁＜x₂，则                    （2分）
f（x₁）-f（x₂）=

3(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

                           （5分）
∵-2＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁+2＜x₂+2，且x₁-x₂＜0                                        （8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），（9分）
∴f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数．（10分）
∵f（x）在区间（-2，+∞）上是增函数，
∴f（x）在区间[1，4]上也是增函数，（11分）
当x=1时，f（x）有最小值，且最小值为f（1）=1                        （12分）
当x=4时，f（x）有最大值，且最大值为f（4）=

3

2

．（14分）

点评：本题考查函数单调性的定义，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．