Question

（2013•广州三模）设函数f（x）=2sinx-cosx．
（1）若x₀是函数f（x）的一个零点，求cos2x₀的值；
（2）若x₀是函数f（x）的一个极值点，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）x₀是函数f（x）的一个零点，即2sinx₀-cosx₀=0，由同角三角函数基本关系式得tanx0=

1

2

，利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式将cos2x₀变换为二次齐次式，分子分母同除以cos²x₀，代入tanx0=

1

2

即可
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），因为x₀是函数f（x）的一个极值点，所以f′（x₀）=0，由同角三角函数基本关系式得tanx₀=-2，利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式将sin2x₀变换为二次齐次式，分子分母同除以cos²x₀，代入tanx₀=-2即可

解答：解：（1）∵x₀是函数f（x）的一个零点，∴2sinx₀-cosx₀=0，从而tanx0=

1

2

．
∴cos2x0=

cos2x0-sin2x0

cos2x0+sin2x0

=

1-tan2x0

1+tan2x0

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

（2）f'（x）=2cosx+sinx，
∵x₀是函数f（x）的一个极值点
∴f′（x₀）=0，
∴2cosx₀+sinx₀=0，从而tanx₀=-2．
∴sin2x0=2sinx0cosx0=

2sinx0cosx0

sin2x0+cos2x0

=

2tanx0

1+tan2x0

=

2×(-2)

1+4

=-

4

5

点评：本题考查了同角三角函数基本关系式及其应用，二倍角公式，导数与函数极值的关系，整体代入求值的思想方法