Question

【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-,0)，且过点D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点A(1,)，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是
∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F(-,0)，
∴a=2，c=，可得b==1
因此，椭圆的标准方程为．
（2）设点P的坐标是（x0 ， y0），线段PA的中点为M（x，y），
由根据中点坐标公式，可得，整理得，
∵点P（x0 ， y0）在椭圆上，
∴可得，化简整理得，
由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．
【解析】（1）设椭圆方程为 ， 根据题意可得a=2且c= ， 从而b==1，得到椭圆的标准方程；
（2）设点P（x0 ， y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0 ， y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．