Question

已知函数f(x)=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)．
（1）设θ∈[-

π

2

，

π

2

]，且f(θ)=

3

+1，求θ值；
（2）若方程f（x）-2cos（x-

π

3

）-

3

-

3

2

-2m=0在x∈[-

π

6

，

π

3

]上恒有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：函数f（x）解析式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）将x=θ代入表示出f（θ），根据θ的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出θ的值；
（2）将f（x）代入已知等式，设令g（x）=2sin（x-

π

3

）+2cos（x-

π

3

），利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，已知方程恒有解等同于求g（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域，即可确定出m的范围．

解答：解：f（x）=2

3

cos²

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

cosx+

3

-sinx=-2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+

3

=-2sin（x-

π

3

）+

3

，
（1）∵f（θ）=-2sin（θ-

π

3

）+

3

=

3

+1，
∴sin（θ-

π

3

）=-

1

2

，
∵θ∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴θ=-

π

2

或

π

6

；    
（2）∵f（x）=-2sin（x-

π

3

）+

3

，f（x）-2cos（x-

π

3

）-

3

-

3

2

-2m=0，
∴-2sin（x-

π

3

）-2cos（x-

π

3

）-

3

2

-2m=0，
即2sin（x-

π

3

）+2cos（x-

π

3

）=-

3

2

-2m，
令g（x）=2sin（x-

π

3

）+2cos（x-

π

3

），
则g（x）=2

2

sin（x-

π

12

），
∴g（x）=-2m-

3

2

，
问题等价于求g（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域，
∵x-

π

12

∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴-

2

2

≤sin（x-

π

12

）≤

2

2

，
∴-2≤-2m-

3

2

≤2，即-

7

4

≤m≤

1

4

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义与与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．