Question

已知等比数列{a_n}满足a1+a2+…+an=

1

2

an+1-1(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n-1个数组成一个公差为d_n的等差数列．
①设bn=

1

dn

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
②在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

1

2

an+1-1(n∈N*)，得Sn+1=

1

2

an+2-1，两式相减可得an+1=

1

2

(qan+1-an+1)，由此可求得q，由所给等式易求a₁，根据等比数列的通项公式可求得a_n；
（2）①由（1）可求a_n，a_n+1，根据a_n+1=a_n+nd_n，得d_n，利用错位相减法可求得T_n；②假设在数列{d_n}中存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，由等比中项得

d

2 k

=dm•dp，可得m，p，k的方程，又m，k，p成等差数列，得m+p=2k，由此可推得矛盾，得到结论；

解答：解：（1）由已知，Sn=

1

2

an+1-1(n∈N*)，得Sn+1=

1

2

an+2-1，（2分）
两式相减得，an+1=

1

2

(qan+1-an+1)，即1=

1

2

（q-1），解得q=3，（4分）
又a1=

1

2

×q×a1-1，解得a₁=2，9（5分）
故an=2×3n-1．（6分）
（2）由（1），知an=2×3n-1，an+1=2×3n．
∵a_n+1=a_n+nd_n，∴dn=

4×3n-1

n

．…（7分）
①Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

1

4×30

+

2

4×31

+

3

4×32

+…+

n

4×3n-1

，…（8分）

1

3

Tn=

1

4×31

+

2

4×32

+

3

4×33

+…+

n

4×3n

，
∴

2

3

Tn=

1

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+…+

1

4×3n-1

-

n

4×3n

=

1

4

×

1- 1 3n

1- 1 3

-

n

4×3n

，…（10分）
故Tn=

9

16

-(

9

16

+

3n

8

)

1

3n

；…（11分）
②假设在数列{d_n}中存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则

d

2 k

=dm•dp，即(

4×3k-1

k

)2=

4×3m-1

m

•

4×3p-1

p

．                        …（13分）
∵m，k，p成等差数列，∴m+p=2k（*），代入上式得：k²=mp，（**）
由（*），（**），得m=p=k，这与题设矛盾．                             …（15分）
∴在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．…（16分）

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等差数列等比数列的综合及数列求和问题，考查学生综合运用知识解决问题的能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点，要熟练掌握．