Question

19．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos$∠CAD=\frac{5\sqrt{7}}{14}$
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）若AB=4，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{CD}{sin∠CAD}$，解出即可；
（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos120°，解得AD，过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．在直角△ADE中，可求DE=AD•sin60°，即可由梯形面积得解．

解答 解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，∴sin∠CAD=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
由正弦定理得：$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{CD}{sin∠CAD}$，
即AC=$\frac{CDsin∠ADC}{sin∠CAD}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{14}}$=2$\sqrt{7}$．
（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos120°，
整理得AD²+2AD-24=0，解得AD=4．
过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．
∵AB∥CD，∠ADC=120°，
∴∠BAD=60°．
在直角△ADE中，DE=AD•sin60°=2$\sqrt{3}$．
${S}_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}（AB+CD）•DE$=$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
即梯形ABCD的面积为6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．