题目内容

设函数f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数 $数学公式$ ，讨论g（x）的单调性．

解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极限值，故f'（x）=0，从而b=0由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0相互垂直可知
该切线斜率为2，
即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
$\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
令g'（x）=0，有x²-2x+k=0（8分）
（1）当△=4-4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）
（2）当△=4-4k=0，即当k=1时， $\text{[math]}$ ，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）
（3）△=4-4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x²-2x+k=0有两个不相等实根 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 是g'（x）＞0，故g（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数
当 $\text{[math]}$ 时，g'（x）＜0，故g（x）在 $\text{[math]}$ 上为减函数
当 $\text{[math]}$ 时，g'（x）＞0，故g（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数（14分）
分析：（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到： $\text{[math]}$ ，令g'（x）=0，有x²-2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4-4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△=4-4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4-4k＞0，方程x²-2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．
点评：本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．