Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式，并证明：.

（2）已知，且函数与函数的图象交于，两点，且线段的中点为，证明：.

Answer 1

【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析.

【解析】

（1）利用切线方程可求得的解析式，令，利用导数可求得，从而证得结论；（2）通过分析法可知要证成立只需证；令，即证：；令，利用导数研究单调性，可知，得到成立；令，利用导数研究单调性，可知，得到成立，可知需证的不等式成立，则原不等式成立.

（1）由题意得：，即

又，即，则，解得：

则.

令，

令，解得：

则函数在上单调递减，在上单调递增

，则：

（2）要证成立，只需证：

即证，即：

只需证：

设，即证：

要证，只需证：

令，则

在上为增函数

，即成立；

要证，只需证明：

令，则

在上为减函数 ，即成立

，成立

成立