题目内容

已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且
AP
=2
PB
．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，
1
12
)到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．
（1）设P（x，y）因为yA′=2x|x=a=2a，所以过点A的切线方程为y-a2=2a（x-a）．
令x=0，则y=-a2，B点坐标为（0，-a2），
又
AP
=2
PB
，
AP
=（x-a，y-a2），
PB
=（-x，-a2-y）
∴
x-a=-2x
y-a2=2(-a2-y)
化简得，
x=
a
3
y=-
a2
3
消去a，得y=-3x2
∴点P的轨迹方程为y=-3x2
（2）设C到l的距离为d，则d=
1
12
+a2
4a2+1
=
1
4
[
4a2+1
-
2
3
4a2+1
]
设
4a2+1
=t(t≥1)，则d=
1
4
(t-
2
3
•
1
t
)，d为t的增函数，
∴dmin=
1
4
(1-
2
3
)=
1
12

故C到l的最短距离为
1
12
，此时l的方程为y=0．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c，d为实数，判断下列命题的真假．
（1）若ac2＞bc2，则a＞b
（2）若a＜b＜c，则 a2＞ab＞b2
（3）若a＞b＞0，则
a
d
＞
b
c

（4）若0＜a＜b，则 
b
a
＜
b+x
a+x
．
已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且
AP
=2
PB
．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，
1
12
)到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．
已知空间向量
a
=（a1，a2，a3），
b
=（b1，b2，b3），定义两个空间向量
a
与
b
之间的距离为d（
a
，
b
）=
3
i=1
|bi-ai|．
（1）若
a
=（1，2，3），
b
=（4，1，1），
c
=（
11
2
，
1
2
，0），证明：d（
a
，
b
）+d（
b
，
c
）=d（
a
，
c
）
（2）已知
c
=（c1，c2，c3）
    ①证明：若?λ＞0，使
b
-
a
=λ（
c
-
b
），则d（
a
，
b
）+d（
a
，
c
）=d（
a
，
c
）．
    ②若d（
a
，
b
）+d（
b
，
c
）=d（
a
，
c
），是否一定?λ＞0，使
b
-
a
=λ（
c
-
b
）？请说明理由．
已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．

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