Question

7．曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（x∈[-2，2]）与直线y=k（x-2）+4有两个公共点时，k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{5}{12}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{5}{12}$，+∞）
• D． （$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]

Answer 1

分析 如图所示，曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），化为x²+（y-1）²=4（1≤y≤3）．直线y=k（x-2）+4经过定点（2，4）．当经过点P的直线斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-2），由点到直线的距离公式可得：圆心（0，1）到直线的距离d＜2，当直线经过点（-2，1）时，k=$\frac{3}{4}$．即可得出．

解答 解：如图所示，
曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），
化为x²+（y-1）²=4（1≤y≤3）．
直线y=k（x-2）+4经过定点（2，4）．
直线x=2与半圆y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$相切于一点（2，1）；
当经过点P的直线斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-2），
则圆心（0，1）到直线的距离d=$\frac{|-1+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，
解得$k＞\frac{5}{12}$．
当直线经过点（-2，1）时，k=$\frac{4-1}{2-（-2）}$=$\frac{3}{4}$．
综上可得：k的取值范围是$（\frac{5}{12}，\frac{3}{4}]$．
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆相交相切问题、斜率计算公式，考查了数形结合思想方法与计算能力，属于中档题．