Question

已知

a

=(sin(

π

6

-2x)，-1)，

b

=(3，-2)，且函数f(x)=

a

•

b

，
（1）求f（x）的增区间；  
（2）求f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的最大、最小值及相应的x值；
（3）求函数f（x）的图象关于直线x=π对称图象的对称中心和对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积直接求出函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求f（x）的增区间；  
（2）当x∈[-

π

12

，

π

2

]上时，求出2x-

π

6

的范围，然后求出函数的最大、最小值及相应的x值；
（3）求函数f（x）的图象关于直线x=π对称的函数的解析式，然后求出的对称中心和对称轴方程．

解答：解：（1）因为

a

=(sin(

π

6

-2x)，-1)，

b

=(3，-2)，
所以函数f(x)=

a

•

b

=3sin（

π

6

-2x）+2=-3sin（2x-

π

6

）+2，
 因为 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得

1

3

π+kπ≤x≤

5

6

π+kπ，(k∈Z)
函数的单调增区间为：[

1

3

π+kπ，

5

6

π+kπ]，(k∈Z)，…（4分）
（2）因为x∈[-

π

12

，

π

2

]，所以当2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，当x=-

π

12

，ymax=

3

2

3

+2，
x=

π

3

，ymin=-1，…（8分）
（3）因为函数f（x）=-3sin（2x-

π

6

）+2，
所以函数f（x）的图象关于直线x=π对称的解析式为：f（x）=-3sin[2（2π-x）-

π

6

]+2=3sin（2x+

π

6

），
当x=-

π

12

+

k

2

π，函数值为：2，所以函数的对称中心(-

π

12

+

k

2

π，2)，(k∈Z)，
当x=

π

6

+

k

2

π，(k∈Z)时函数取得最值，所以对称轴x=

π

6

+

k

2

π，(k∈Z)…（13分）

点评：本题考查向量的数量积，三角函数的基本性质，两角和与差的三角函数，考查计算能力．