Question

已知5只动物中有且仅有1只患病，需要通过化验血液确定患病动物．血检呈阳性即为患病，否则没患病．现有以下两种验血方案，每种验血方案都直到检验出某动物血液呈阳性为止．
甲：逐个随机检验．
乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若呈阳性，表明患病动物在这3只之中，再对这3只逐个随机检验；否则，在另外两只中逐个随机检验．
①甲、乙哪个方案能更快检验出患病动物；
②求依方案乙所需检验次数不多于依方案甲所需检验次数的概率．

Answer 1

分析：①甲方案检到某动物血液呈阳性所需要检验次数为ξ，乙方案检到某动物血液呈阳性所需要检验次数为η，根据题意写出两个变量的可能取值，结合事件写出概率，分布列和期望，比较两种方法的快慢，得到结论．
②方案乙所需检验次数不多于方案甲所需检验次数，包含三种情况，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率写出结果．

解答：解：①甲方案检到某动物血液呈阳性所需要检验次数为ξ，
乙方案检到某动物血液呈阳性所需要检验次数为η，
依题意，
其中p(η=2)=

C 1 3

C 1 5

×

1

3

+

C 1 2

C 1 5

×

1

2

=0.4，
p(η=3)=

C 1 3

C 1 5

×

2

3

×

1

2

+

C 1 2

C 1 5

×

1

2

×

1

1

=0.4
p(η=4)=

C 1 3

C 1 5

×

2

3

×

1

2

×

1

1

=0.2．

Eξ=3，Eη=2.8．Eη＜Eξ，
∴乙方案能更快检验出患病动物．
②p(η≤ξ)=0.2×(

1

5

+

1

5

)+0.4×(

1

5

+

1

5

+

1

5

)+0.4×(

1

5

+

1

5

+

1

5

+

1

5

)=0.64，
即依方案乙所需检验次数不多于依方案甲所需检验次数的概率为0.64．

点评：本题是不同概型、不同随机变量分析比较的概率问题，解题的关键是确定随机变量及其分布列，知道是对哪个数字特征进行比较，再相应地计算比较．本题仅适合理科学生．