Question

(本小题满分14分)设圆,将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C.经过点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),交曲线C于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程；
(2)求m的取值范围；
(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

Answer 1

解:(1)在曲线上任取一个动点P(x,y),则点(x,2y)在圆上.所以有.整理得曲线C的方程为.
它表示一个焦点在x轴上的椭圆.                              …………4分
(2)∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.                                     …………6分
由,                             …………7分
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，    …………8分
解得.∴m的取值范围是.   …………10分
(3)设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可.
设
,可得.……12分

.
k₁+k₂=0.故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.                …………14分