Question

已知函数f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞0，a≠1）．
（I）求函数f（x）的定义域、值域；
（II）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0．

Answer 1

分析：（I）、根据偶次根式被开方数非负列不等式，解指数不等式即可．
（II）、通过换元对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0
转化为g（t）═-（t+1）²+4，在t∈[

4-a2

，2)的函数值均非负．归结为二次函数的最值问题．

解答：解：（I）由4-a^x≥0，得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log_a4，+∞）．
令t=

4-aX

，则0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴设g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
当t∈[0，2）时，g（t）是单调减函数，∴-5＜y≤3，
∴函数f（x）的值域是（-5，3]．
（II）若存在实数a使得对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0，则区间（2，+∞）是定义域的子集．
由（I）知，若a＞1不满足条件；
若0＜a＜1，x∈（2，+∞），0＜a^x＜a²＜1，则t∈[

4-a2

，2)．
g（t）═-（t+1）²+4的对称轴为x=-1，在t∈[

4-a2

，2)为减函数
因为∵a2＜1 ∴ 

4-a2

＞ 1，g(

4-a2

)＜g(1)=0
∴x∈（2，+∞），f（x）＜0，即f（x）≥0不成立．
综上，满足条件的a的取值范围是∅．

点评：本题重点考查求函数的定义域和值域问题，用到了换元和分类讨论的数学思想，二次函数的最值问题，